Родился 16 мая 1979 года в Ленинграде. Окончил Санкт-Петербургский университет Министерства внутренних дел РФ.
До 2017 года занимал должность заместителя главы администрации Невского района. В июне 2017 года указом губернатора Санкт-Петербурга назначен главой района.
В качестве руководителя Алексей Гальчук координирует и контролирует деятельность первого заместителя главы администрации, других заместителей, советников, юридического отдела, отдела бухгалтерского учета и отчетности, сектора дежурной службы, сектора информации и сектора по мобилизационной подготовке, Санкт-Петербургского государственного казенного учреждения «Централизованная бухгалтерия администрации Невского района Санкт-Петербурга».